Sejam n a normal unitária exterior ao conjunto B=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= R^2 e S a superfície de B. Se F é um campo vetorial de classe C^2 em B, mostre que integral duplaS rot F cdot n d S=0, usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre a superfície S da esfera de raio R é igual a zero. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de superfície e o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar o Teorema de Stokes de maneira apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial F. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência de F de girar ao redor de um ponto. Ele é definido como:
rot F = nabla times F

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de superfície que queremos calcular:
integral duplaS rot F cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S, e dS é o elemento de área na superfície.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos utilizar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. Ele é enunciado da seguinte forma:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr

Passo 5

No nosso caso, a superfície S é a esfera completa, que é um conjunto fechado. Isso significa que a borda da superfície, partial S, é vazia — não há nenhum contorno. Portanto, a integral de linha ao longo da borda será zero:
ointpartial S F cdot dr = 0

Passo 6

Substituindo isso na equação do Teorema de Stokes, temos:
integral duplaS rot F cdot n , dS = 0

Resposta

Portanto, demonstramos que:
integral duplaS rot F cdot n , dS = 0

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