Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.
Boa prova.
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre a superfície
da esfera de raio
é igual a zero. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de superfície e o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar o Teorema de Stokes de maneira apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de
de girar ao redor de um ponto. Ele é definido como:
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral de superfície que queremos calcular:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é o elemento de área na superfície.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos utilizar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. Ele é enunciado da seguinte forma:
Passo 5
No nosso caso, a superfície
é a esfera completa, que é um conjunto fechado. Isso significa que a borda da superfície,
, é vazia — não há nenhum contorno. Portanto, a integral de linha ao longo da borda será zero:
Passo 6
Substituindo isso na equação do Teorema de Stokes, temos:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Gauss.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma função exponencial
onde a constante positiva
mede o valor inicial presente
e
é uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.
Um crânio encontrado num local de escavações arqueológicas tem um décimo da quantidade de carbono-14 que possuía originalmente. Determine a idade aproximada do crânio.