Sejam a normal unitária exterior ao conjunto e a superfície de . Se é um campo vetorial de classe , mostre que , usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre a superfície da esfera de raio é igual a zero. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de superfície e o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar o Teorema de Stokes de maneira apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial . O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de de girar ao redor de um ponto. Ele é definido como:

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de superfície que queremos calcular:
Aqui, é o vetor normal à superfície , e é o elemento de área na superfície.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos utilizar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. Ele é enunciado da seguinte forma:

Passo 5

No nosso caso, a superfície é a esfera completa, que é um conjunto fechado. Isso significa que a borda da superfície, , é vazia — não há nenhum contorno. Portanto, a integral de linha ao longo da borda será zero:

Passo 6

Substituindo isso na equação do Teorema de Stokes, temos:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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