Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral que você me passou:
. Estamos lidando com integrais definidas, indefinidas e impróprias aqui. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integração definida
. Quando os limites de integração são iguais, qualquer integral definida resulta em zero. Isso porque não há área entre dois pontos iguais.
Passo 3
Agora, vamos para a integração indefinida
. Para resolver isso, podemos usar a identidade trigonométrica
, mas uma abordagem mais simples é usar substituição. Vamos definir
, então
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
No entanto, isso fica complicado. Então, uma melhor abordagem é expandir
usando a identidade:
Substituindo na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidades de potências ou substituição adicional.
Passo 5
Por fim, para a integração imprópria, precisamos verificar se há algum comportamento assintótico ou limites infinitos na função ou nos limites de integração. No caso da integral
, como os limites são finitos e a função é bem comportada nesse intervalo, a integral imprópria também resulta em zero.
Resposta
A integral definida
é igual a 0.