Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: integralpi^pi sen^2 x cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que você me passou: . Estamos lidando com integrais definidas, indefinidas e impróprias aqui. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integração definida . Quando os limites de integração são iguais, qualquer integral definida resulta em zero. Isso porque não há área entre dois pontos iguais.

Passo 3

Agora, vamos para a integração indefinida . Para resolver isso, podemos usar a identidade trigonométrica , mas uma abordagem mais simples é usar substituição. Vamos definir , então .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral sin^2x cos^4x , dx = integral (1 - cos^2x) cos^4x , dx = integral (1 - u^2) u^4 cdot (-dusin x) :
sin^2x = 1 - cos 2x2
No entanto, isso fica complicado. Então, uma melhor abordagem é expandir integral (1 - cos 2x2) cos^4x , dx = 12 integral cos^4x , dx - 12 integral cos^4x cos 2x , dx usando a identidade:
Substituindo na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidades de potências ou substituição adicional.

Passo 5

Por fim, para a integração imprópria, precisamos verificar se há algum comportamento assintótico ou limites infinitos na função ou nos limites de integração. No caso da integral , como os limites são finitos e a função é bem comportada nesse intervalo, a integral imprópria também resulta em zero.

Resposta

A integral definida é igual a 0.

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