Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral que você me passou:
. Estamos lidando com integrais definidas, indefinidas e impróprias aqui. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integração definida
. Quando os limites de integração são iguais, qualquer integral definida resulta em zero. Isso porque não há área entre dois pontos iguais.
Passo 3
Agora, vamos para a integração indefinida
. Para resolver isso, podemos usar a identidade trigonométrica
, mas uma abordagem mais simples é usar substituição. Vamos definir
, então
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
No entanto, isso fica complicado. Então, uma melhor abordagem é expandir
usando a identidade:
Substituindo na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidades de potências ou substituição adicional.
Passo 5
Por fim, para a integração imprópria, precisamos verificar se há algum comportamento assintótico ou limites infinitos na função ou nos limites de integração. No caso da integral
, como os limites são finitos e a função é bem comportada nesse intervalo, a integral imprópria também resulta em zero.
Resposta
A integral definida
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:
(Assuma que em uma determinada cidade, um monopolista venda a arroba do boi por
e que a esse preço venda 1000 arrobas por semana. Suponha também que devido a uma pesquisa, o produtor observa que a cada
que ele cobra a menos na arroba, ele venderá cerca de 25 arrobas a mais.)
Determine o preço ( ) e a demanda (
) em função do número de descontos de
.
Determine o preço (
Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):