Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que você me passou: . Estamos lidando com integrais definidas, indefinidas e impróprias aqui. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integração definida . Quando os limites de integração são iguais, qualquer integral definida resulta em zero. Isso porque não há área entre dois pontos iguais.

Passo 3

Agora, vamos para a integração indefinida . Para resolver isso, podemos usar a identidade trigonométrica , mas uma abordagem mais simples é usar substituição. Vamos definir , então .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de :
No entanto, isso fica complicado. Então, uma melhor abordagem é expandir usando a identidade:
Substituindo na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidades de potências ou substituição adicional.

Passo 5

Por fim, para a integração imprópria, precisamos verificar se há algum comportamento assintótico ou limites infinitos na função ou nos limites de integração. No caso da integral , como os limites são finitos e a função é bem comportada nesse intervalo, a integral imprópria também resulta em zero.

Resposta

A integral definida é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:
(Assuma que em uma determinada cidade, um monopolista venda a arroba do boi por e que a esse preço venda 1000 arrobas por semana. Suponha também que devido a uma pesquisa, o produtor observa que a cada que ele cobra a menos na arroba, ele venderá cerca de 25 arrobas a mais.)
Determine o preço ( ) e a demanda ( ) em função do número de descontos de .
Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função ao longo do intervalo , obtida dividindo-se o intervalo em subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):