Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função ao longo do intervalo , obtida dividindo-se o intervalo em subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área sob a curva da função no intervalo usando o método dos retângulos, também conhecido como Soma de Riemann. A gente vai dividir o intervalo em subintervalos iguais, onde e , e vamos usar os extremos à esquerda de cada subintervalo para calcular a área. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Soma de Riemann e como aplicar fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que a gente chama de , é calculada pela fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função . Como vamos usar os extremos à esquerda, para cada subintervalo, o ponto de amostragem será o início do subintervalo. Esses pontos são chamados de pontos de amostragem à esquerda. A gente pode listar esses pontos como:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função em cada um desses pontos de amostragem. Ou seja, para cada , vamos encontrar .

Passo 5

A soma de Riemann à esquerda é então calculada multiplicando cada valor de pela largura e somando todos esses produtos. A fórmula geral fica assim:
Á

Passo 6

Vamos agora calcular a área para e .
Para :
  • Pontos de amostragem: , , , ,
  • Valores da função:
  • Soma de Riemann:
    Á
Para :
  • Pontos de amostragem: , , , ,
  • Valores da função:
  • Soma de Riemann:
    Á

Passo 7

Por fim, para visualizar melhor, podemos plotar o gráfico da função no intervalo e desenhar os retângulos correspondentes aos subintervalos com e . Isso ajuda a entender como a soma de Riemann aproxima a área sob a curva.

Resposta

A área aproximada sob a curva no intervalo é:
  • Para subintervalos: 9,48 unidades de área
  • Para subintervalos: 10,5 unidades de área
E o gráfico com os retângulos desenhados para e subintervalos ilustra essas aproximações.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:
Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente ao ano.)
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante, , em função dos anos t, desde o acidente nuclear.