Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área sob a curva da função
no intervalo
usando o método dos retângulos, também conhecido como Soma de Riemann. A gente vai dividir o intervalo em
subintervalos iguais, onde
e
, e vamos usar os extremos à esquerda de cada subintervalo para calcular a área. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Soma de Riemann e como aplicar fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que a gente chama de
, é calculada pela fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função
. Como vamos usar os extremos à esquerda, para cada subintervalo, o ponto de amostragem será o início do subintervalo. Esses pontos são chamados de pontos de amostragem à esquerda. A gente pode listar esses pontos como:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor da função
em cada um desses pontos de amostragem. Ou seja, para cada
, vamos encontrar
.
Passo 5
A soma de Riemann à esquerda é então calculada multiplicando cada valor de
pela largura
e somando todos esses produtos. A fórmula geral fica assim:
Passo 6
Vamos agora calcular a área para
e
.
Para
:
-
-
Pontos de amostragem:
, , , , -
Valores da função:
-
-
Soma de Riemann:
Para
:
-
-
Pontos de amostragem:
, , , , -
Valores da função:
-
-
Soma de Riemann:
Passo 7
Por fim, para visualizar melhor, podemos plotar o gráfico da função
no intervalo
e desenhar os retângulos correspondentes aos subintervalos com
e
. Isso ajuda a entender como a soma de Riemann aproxima a área sob a curva.
Resposta
A área aproximada sob a curva
no intervalo
é:
- Para
subintervalos: 9,48 unidades de área - Para
subintervalos: 10,5 unidades de área
E o gráfico com os retângulos desenhados para
e
subintervalos ilustra essas aproximações.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente
ao ano.)
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante, , em função dos anos t, desde o acidente nuclear.
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante,