Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. A matéria envolvida é o cálculo de derivadas parciais e a análise de máximos, mínimos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos críticos onde essas derivadas são iguais a zero, e então analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
e
.
Primeiro,
:
Como
nunca é zero, temos que
.
Segundo,
:
Novamente,
nunca é zero, então
.
Passo 4
Precisamos que tanto
quanto
sejam verdadeiros simultaneamente.
No entanto, não existe valor de
que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo, porque
quando
e
quando
, onde
é um inteiro.
Isso significa que não existem pontos críticos onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente.
Passo 5
Como não encontramos pontos críticos que satisfaçam
e
ao mesmo tempo, concluímos que a função
não possui pontos de máximo, mínimo ou de sela.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.