Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função abaixo:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . A matéria envolvida é o cálculo de derivadas parciais e a análise de máximos, mínimos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos onde essas derivadas são iguais a zero, e então analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo e .
Primeiro, :
Como nunca é zero, temos que .
Segundo, :
Novamente, nunca é zero, então .

Passo 4

Precisamos que tanto quanto sejam verdadeiros simultaneamente.
No entanto, não existe valor de que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo, porque quando e quando , onde é um inteiro.
Isso significa que não existem pontos críticos onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente.

Passo 5

Como não encontramos pontos críticos que satisfaçam e ao mesmo tempo, concluímos que a função não possui pontos de máximo, mínimo ou de sela.

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.

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