Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
. O que isso quer dizer? Basicamente, estamos lidando com uma relação entre a função
, sua derivada
, e a variável
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e por
para reorganizar:
Isso nos permite integrar os dois lados separadamente.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de
é:
E a integral de
é:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos simplificar isso combinando as constantes em uma única constante
.
Passo 4
Igualando as integrais, temos:
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
Podemos chamar
apenas de
, onde
é uma constante qualquer. Então:
Passo 5
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial. O sinal
indica que podemos ter duas curvas, uma positiva e outra negativa, dependendo da constante
.
Resposta
As soluções gerais da equação diferencial
são:
onde
é uma constante real. O domínio máximo para estas soluções é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
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Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente
ao ano.)
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante, , em função dos anos t, desde o acidente nuclear.
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante,
Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada: