Dê as soluções das equações diferenciais de 1_a ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
y y' = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: . O que isso quer dizer? Basicamente, estamos lidando com uma relação entre a função , sua derivada , e a variável . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para reorganizar:
Isso nos permite integrar os dois lados separadamente.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de é:
E a integral de é:
Onde e são constantes de integração. Podemos simplificar isso combinando as constantes em uma única constante .

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
Podemos chamar apenas de , onde é uma constante qualquer. Então:

Passo 5

Para achar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial. O sinal indica que podemos ter duas curvas, uma positiva e outra negativa, dependendo da constante .

Resposta

As soluções gerais da equação diferencial são:
onde é uma constante real. O domínio máximo para estas soluções é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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