Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-2^-1 1(1+2 x)^3 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral-2^-1 1(1+2 x)^3 d x. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir:
u = 1 + 2x
Isso facilita a integração porque transforma a expressão no denominador em uma função mais simples.

Passo 3

Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2 implies du = 2,dx implies dx = du2
Isso nos permite substituir dx na integral original.

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração de x para u. Quando x = -2:
u = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3
E quando x = -1:
u = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1
Então, os novos limites de integração são de u = -3 a u = -1.

Passo 5

Substituindo u e dx na integral, temos:
integral-2^-1 1(1+2 x)^3 d x = integral-3^-1 1u^3 cdot du2 = 12 integral-3^-1 u^-3 du

Passo 6

Agora, integramos u^-3:
integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Portanto:
12 integral-3^-1 u^-3 du = 12 [ -12u^2 ]-3^-1

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
12 ( -12(-1)^2 + 12(-3)^2 ) = 12 ( -12 + 118 ) = 12 ( -918 + 118 ) = 12 cdot ( -818 ) = -418 = -29

Resposta

O valor da integral definida é -dfrac29.

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