Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi2 sen^5(x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que vai simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . A razão por trás disso é que a derivada de é , que já aparece na nossa integral, facilitando a substituição.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de du = cos(x) , dx em relação a :
Isso significa que pode ser substituído por na nossa integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi2 sin^5(x) cos(x) , dx = integralu=0^u=1 u^5 , du
Aqui, os limites de integração também mudaram: quando , , e quando , .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^5 , du = u^66 + C em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do constante de integração .

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
u^66 |0^1 = 1^66 - 0^66 = 16 - 0 = 16

Resposta

O valor da integral definida é .

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