Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x ln (1+x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração envolvendo logaritmos e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da nossa função para serem e . A escolha correta facilita a resolução.

Passo 3

Vamos identificar u = ln(1 + x^2) e du = 2x1 + x^2 dx na nossa integral:
dv = x , dx
Então, derivando v = x^22 :
E será:
Integrando para encontrar :

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral0^1 x ln(1 + x^2) dx = x^22 ln(1 + x^2) |0^1 - integral0^1 x^22 cdot 2x1 + x^2 dx
Simplificando a segunda integral:
= x^22 ln(1 + x^2) |0^1 - integral0^1 x^31 + x^2 dx

Passo 5

Vamos calcular o primeiro termo:
x^22 ln(1 + x^2) |0^1 = 1^22 ln(2) - 0^22 ln(1) = ln(2)2
Agora, precisamos resolver a integral x^31 + x^2 = x - x1 + x^2 . Vamos simplificar essa fração:
integral0^1 x dx - integral0^1 x1 + x^2 dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando cada parte:
integral0^1 x dx = x^22 |0^1 = 12
E para u = 1 + x^2 Rightarrow du = 2x dx Rightarrow du2 = x dx , fazemos uma substituição:
integral x1 + x^2 dx = 12 ln|1 + x^2| + C
Então,
12 ln(1 + x^2) |0^1 = 12 ln(2) - 12 ln(1) = ln(2)2
Aplicando os limites:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral0^1 x^31 + x^2 dx = 12 - ln(2)2
Agora, substituímos isso na expressão original:
ln(2)2 - ( 12 - ln(2)2 ) = ln(2)2 - 12 + ln(2)2 = ln(2) - 12

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2 1raizx+1+raiz(x+1)^3 d x
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-2^-1 1(1+2 x)^3 d x
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^3 2 x+3x^3+3 x d x
Se integral0^1 f(x)=5, calcule:
integral1^0 f(v) d v