Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O exercício pede para calcular a integral de
de 0 a 2. Vamos usar conhecimento de cálculo, especificamente integrais e substituições, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a integração. Observe que:
Fatorando
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificamos os termos e a integral agora fica mais fácil de resolver.
Passo 5
A integral
é uma forma padrão que sabemos que é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
:
Passo 7
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral definida é igual a
.
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onde
é igual a:
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