Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2 1raizx+1+raiz(x+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O exercício pede para calcular a integral de de 0 a 2. Vamos usar conhecimento de cálculo, especificamente integrais e substituições, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a integração. Observe que:
raizx+1 + raiz(x+1)^3 = raizx+1 + (x+1)^32
Fatorando raizx+1 (1 + (x+1)) = raizx+1 cdot (x + 2) :
integral0^2 1raizx+1 cdot (x + 2) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = raizx+1 implies x + 1 = u^2 implies x = u^2 - 1 . Então:
dx = 2u , du
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 1u cdot ((u^2 - 1) + 2) cdot 2u , du = integral 2u^2 + 1 , du e na integral original:
Simplificamos os termos e a integral agora fica mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral 2 arctan(u) + C é uma forma padrão que sabemos que é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original 2 arctan(raizx+1) + C . Lembrando que :

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Para 2 arctan(raiz3) = 2 cdot pi3 = 2pi3 :
2 arctan(1) = 2 cdot pi4 = pi2
Para 2pi3 - pi2 = 4pi6 - 3pi6 = pi6 :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral definida é igual a .

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