Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-pi2^pi2 raizcos (x)-cos ^3(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida:
integral-pi2^pi2 raizcos (x) - cos^3(x) , dx
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais definidas e propriedades de funções ímpares e pares.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento sobre funções pares e ímpares.
  • Técnicas de simplificação de expressões trigonométricas.
  • Substituição em integrais.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da raiz:
cos(x) - cos^3(x)
Podemos fatorar o termo comum cos(x) - cos^3(x) = cos(x) (1 - cos^2(x)) :
cos(x) - cos^3(x) = cos(x) cdot sin^2(x)
Sabemos que (uma identidade trigonométrica básica). Então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa simplificação na integral original:
integral-pi2^pi2 raizcos(x) cdot sin^2(x) , dx
A raiz de um produto é o produto das raízes, então:
raizcos(x) cdot sin^2(x) = raizcos(x) cdot raizsin^2(x)
Sabemos que raizcos(x) cdot |sin(x)| . Portanto:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento das funções no intervalo de integração integral-a^a função par , dx = 2 integral0^a função par , dx a 2 integral0^pi2 raizcos(x) cdot sin(x) , dx :
  • é positiva nesse intervalo porque atinge valores positivos entre e .
  • é uma função par, pois .
Como ambas as funções multiplicadas são pares, a função inteira dentro da integral é par. Isso nos permite simplificar a integral:
çãçã
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral simplificada:
2 integral0^pi2 raizcos(x) cdot sin(x) , dx
Vamos usar a substituição du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx . Então:
2 integralu=1^u=0 raizu cdot (-du) = 2 integral0^1 raizu , du
Ajustando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral mais simples:
2 integral0^1 u^12 , du
A antiderivada de u^3232 = 23 u^32 é:
2 [ 23 u^32 ]0^1 = 2 ( 23 cdot 1^32 - 23 cdot 0^32 ) = 2 ( 23 - 0 ) = 43
Então, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A integral definida é igual a .

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