Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais definidas e propriedades de funções ímpares e pares.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento sobre funções pares e ímpares.
- Técnicas de simplificação de expressões trigonométricas.
- Substituição em integrais.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro da raiz:
Podemos fatorar o termo comum
:
Sabemos que
(uma identidade trigonométrica básica). Então:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa simplificação na integral original:
A raiz de um produto é o produto das raízes, então:
Sabemos que
. Portanto:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento das funções no intervalo de integração
a
:
-
é positiva nesse intervalo porque atinge valores positivos entre e . -
é uma função par, pois .
Como ambas as funções multiplicadas são pares, a função inteira dentro da integral é par. Isso nos permite simplificar a integral:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral simplificada:
Vamos usar a substituição
. Então:
Ajustando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral mais simples:
A antiderivada de
é:
Então, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
A integral definida é igual a
.