Calcule as seguintes integrais definidas: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos (x)-\cos ^{3}(x)} d x$
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais definidas e propriedades de funções ímpares e pares.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento sobre funções pares e ímpares.
- Técnicas de simplificação de expressões trigonométricas.
- Substituição em integrais.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro da raiz:
Podemos fatorar o termo comum
:
Sabemos que
(uma identidade trigonométrica básica). Então:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa simplificação na integral original:
A raiz de um produto é o produto das raízes, então:
Sabemos que
. Portanto:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento das funções no intervalo de integração
a
:
-
é positiva nesse intervalo porque atinge valores positivos entre e . -
é uma função par, pois .
Como ambas as funções multiplicadas são pares, a função inteira dentro da integral é par. Isso nos permite simplificar a integral:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral simplificada:
Vamos usar a substituição
. Então:
Ajustando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral mais simples:
A antiderivada de
é:
Então, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
A integral definida é igual a
.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.808ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 6103.3 1083.9”><title>f(x, y) = x^3 * y^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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<div><span class="math-block ">
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<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.386ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.724ex” height=“5.827ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1521 11812.2 2575.5”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(498,676)”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D707” d=“M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 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</body></html>
Calcule as seguintes integrais definidas: