Determine a derivada direcional de f(x, y) = x^3 * y^2 calcule no ponto -1,2 na direção do vetor v = 4i - 3j. Determine também a direção de máximo crescimento da função. Justifique sua resposta com relação á direção.
\vec{\mu}/|\vec{\mu}| = (41,2)/raiz(1+1) = -1/raiz(5), 2/raiz(5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Além disso, também vamos determinar a direção de máximo crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, vetores direcionais e gradientes.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, primeiro precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Um vetor unitário tem comprimento 1 e é obtido dividindo o vetor original pela sua magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto considerado com o vetor unitário . O gradiente de é:
Então, a derivada direcional é:

Passo 6

Para encontrar a direção de máximo crescimento da função, precisamos lembrar que o gradiente aponta exatamente nessa direção. Além disso, a derivada direcional na direção do gradiente é máxima.
Portanto, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor gradiente no ponto , que é .
Se quisermos expressir como um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção de máximo crescimento é:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é igual a 12. Além disso, a direção de máximo crescimento da função nesse ponto é na direção do gradiente .

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