Determine a derivada direcional de
calcule no ponto
na direção do vetor
. Determine também a direção de máximo crescimento da função. Justifique sua resposta com relação á direção.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Além disso, também vamos determinar a direção de máximo crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, vetores direcionais e gradientes.
Passo 2
Para calcular a derivada direcional, primeiro precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Um vetor unitário tem comprimento 1 e é obtido dividindo o vetor original pela sua magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto considerado com o vetor unitário
. O gradiente de
é:
Então, a derivada direcional
é:
Passo 6
Para encontrar a direção de máximo crescimento da função, precisamos lembrar que o gradiente
aponta exatamente nessa direção. Além disso, a derivada direcional na direção do gradiente é máxima.
Portanto, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor gradiente
no ponto
, que é
.
Se quisermos expressir como um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção de máximo crescimento é:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é igual a 12. Além disso, a direção de máximo crescimento da função nesse ponto é na direção do gradiente
.