Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 xraiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral definida . Esse problema está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observe que temos x = 2 sin theta , o que sugere usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
dx = 2 cos theta , dtheta
Com isso, precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos integral xraiz4 - x^2 , dx = integral 2 sin thetaraiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta e raiz4(1 - sin^2 theta) = 2 cos theta na integral original:
integral 2 sin theta2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = integral 2 sin theta , dtheta
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral 2 sin theta , dtheta = -2 cos theta + C :
cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x2)^2 = raiz4 - x^22
Precisamos retornar à variável original -2 cos theta = -2 cdot raiz4 - x^22 = -raiz4 - x^2 . Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
[ -raiz4 - x^2 ]0^1 = -raiz4 - 1 + raiz4 - 0 = -raiz3 + 2

Resposta

O valor da integral definida é .

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