Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral definida
. Esse problema está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observe que temos
, o que sugere usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Precisamos retornar à variável original
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral definida é
.