Calcule as seguintes integrais definidas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno elevado ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das funções ímpares e pares, além de técnicas de integração para potências ímpares de seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é chamada de ímpar se
. O seno é uma função ímpar, ou seja,
. Quando elevamos uma função ímpar a uma potência ímpar, como
, o resultado também é uma função ímpar. Portanto,
.
Passo 3
Agora, sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como
, resulta em zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam mutuamente. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso,
é uma função ímpar, e o intervalo
é simétrico em relação a zero.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas;
Calcule uma primitiva
para as funções
abaixo.
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é contínua, então
é derivável em
.
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é uma primitiva de
, então
.