Calcule as seguintes integrais definidas; integral0^2 x e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos para ser a função que fica mais simples quando derivada, e a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x e dv = e^x , dx
Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral e^x , dx = e^x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^x , dx = u cdot v - integral v , du = x e^x - integral e^x , dx
Agora, vamos integrar integral e^x , dx = e^x :
integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C
Então, substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 2, vamos aplicar os limites de integração:
integral0^2 x e^x , dx = [ x e^x - e^x ]0^2
Calculando para 2 e^2 - e^2 = e^2 :
0 cdot e^0 - e^0 = -1
E para e^2 - (-1) = e^2 + 1 :
Subtraindo:

Resposta

integral0^2 x e^x , dx = e^2 + 1

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