Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se f:[a, b] R é contínua, então F(x)=integrala^x f(t) d t é derivável em [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se é contínua, então é derivável em .” O conteúdo aqui envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a continuidade de garante que seja derivável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um intervalo se, para todo ponto nesse intervalo, o limite de quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Isso é importante porque a continuidade de garante que a integral definida existe para todo em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre derivabilidade. Queremos mostrar que é derivável, ou seja, que existe para todo em . O Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a primeira parte, nos diz que se é contínua em , então é derivável em e .

Passo 4

Para entender isso melhor, pense em F'(x) = limDe como a área acumulada sob a curva de desde até . Quando você muda um pouquinho, a mudança em é basicamente a área de um retângulo com base e altura . Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, usamos a continuidade de para garantir que esse limite exista e seja igual a .

Passo 5

Portanto, com base no Teorema Fundamental do Cálculo e na continuidade de , concluímos que é derivável em e sua derivada é exatamente .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é contínua em , então é derivável em e sua derivada é .

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Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se F é uma primitiva de f, então f'(x) = F(x).
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se F é uma primitiva de f em [a, b], então F(a)=0.