Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é contínua, então
é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se
é contínua, então
é derivável em
.” O conteúdo aqui envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a continuidade de
garante que
seja derivável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um intervalo se, para todo ponto nesse intervalo, o limite de
quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Isso é importante porque a continuidade de
garante que a integral definida
existe para todo
em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre derivabilidade. Queremos mostrar que
é derivável, ou seja, que existe
para todo
em
. O Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a primeira parte, nos diz que se
é contínua em
, então
é derivável em
e
.
Passo 4
Para entender isso melhor, pense em
como a área acumulada sob a curva de
desde
até
. Quando você muda
um pouquinho, a mudança em
é basicamente a área de um retângulo com base
e altura
. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, usamos a continuidade de
para garantir que esse limite exista e seja igual a
.
Passo 5
Portanto, com base no Teorema Fundamental do Cálculo e na continuidade de
, concluímos que
é derivável em
e sua derivada é exatamente
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é contínua em
, então
é derivável em
e sua derivada é
.
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Calcule as seguintes integrais definidas;
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Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é uma primitiva de
, então
.
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é uma primitiva de
em
, então
.