Calcule as seguintes integrais definidas: integral-1^2(3 x-2)^5 d x Resposta: -12812

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo integral, mais especificamente uma integral definida. Precisamos calcular integral-1^2(3x - 2)^5 ,dx. Para isso, vamos utilizar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais que envolvem funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir u = 3x - 2. Essa substituição nos ajuda a transformar a integral em termos de u.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x: dudx = 3. Isso nos permite expressar dx em termos de du: dx = du3.

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando x = -1, u = 3(-1) - 2 = -5. Quando x = 2, u = 3(2) - 2 = 4. Portanto, os novos limites de integração são de u = -5 a u = 4.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral-1^2 (3x - 2)^5 ,dx = integral-5^4 u^5 cdot du3 = 13 integral-5^4 u^5 ,du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^5 em relação a u. A integral de u^5 é:
integral u^5 ,du = u^66
Portanto:
13 integral-5^4 u^5 ,du = 13 [ u^66 ]-5^4 = 118 [ u^6 ]-5^4

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração na expressão:
118 (4^6 - (-5)^6) = 118 (4096 - 15625) = 118 (-11529)

Passo 8

Finalmente, calculamos o valor numérico:
-1152918 = -641.5 = -12812

Resposta

-12812

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