Determine a área limitada pelas curvas y = sen x e y = cos(x), de x = 0 até x = 2 pi.
Resposta: 4 * raiz(2) u.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área que fica entre as curvas e , no intervalo de até . Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no estudo de áreas entre curvas. Vamos precisar entender como integrar as funções para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas curvas no intervalo de a . A função seno e a função cosseno são ondas que se repetem a cada . Precisamos encontrar os pontos onde elas se cruzam nesse intervalo, porque esses pontos vão determinar os limites das áreas que vamos calcular.

Passo 3

Para achar onde , resolvemos a equação:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso acontece quando e no intervalo de a .

Passo 4

Agora, identificamos em quais intervalos uma função está acima da outra:
  1. De a , está acima de .
  2. De a , está acima de .
  3. De a , está acima de .

Passo 5

A área entre duas curvas é calculada integrando a diferença entre elas. Então, vamos calcular três integrais correspondentes aos três intervalos que identificamos:

Passo 6

Vamos integrar cada parte:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Calculando cada parte:
  1. De a :
  1. De a :
  1. De a :

Passo 8

Somando todas as partes:

Resposta

A área limitada pelas curvas e de até é unidades de área.

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