Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 1 a 3. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e possivelmente usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos começar simplificando o denominador
. Podemos fatorar esse polinômio:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Com
, da primeira equação:
Então, nossa decomposição fica:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral utilizando a decomposição:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Segunda integral:
Vamos separar
em duas frações:
Integrando cada parte:
Para
, fazemos a substituição
, então
. Porém, temos
, então ajustamos:
Para
, reconhecemos a forma da integral de uma função do tipo
, cuja integral é
:
Passo 7
Agora, juntando todas as partes:
Passo 8
Vamos calcular avaliando de 1 a 3:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, subtraindo o valor em
de
:
Simplificando os logaritmos:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Se
, calcule:
Encontre a derivada
para a função derivável
que satisfaz cada uma das seguintes equações: