Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^3 2 x+3x^3+3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 3. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e possivelmente usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador x^3 + 3x = x(x^2 + 3) . Podemos fatorar esse polinômio:
integral1^3 2x + 3x(x^2 + 3) dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 2x + 3x(x^2 + 3) = Ax + Bx + Cx^2 + 3 em frações parciais. Queremos encontrar constantes 2x + 3 = A(x^2 + 3) + (Bx + C)x e 2x + 3 = A x^2 + 3A + B x^2 + C x tais que:
2x + 3 = (A + B) x^2 + C x + 3A
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para A + B = 0 :
C = 2
Para 3A = 3 Rightarrow A = 1 :
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
Para o termo constante:
2x + 3x(x^2 + 3) = 1x + -x + 2x^2 + 3
Com , da primeira equação:
Então, nossa decomposição fica:

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral utilizando a decomposição:
integral1^3 ( 1x + -x + 2x^2 + 3 ) dx = integral1^3 1x dx + integral1^3 -x + 2x^2 + 3 dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral 1x dx = ln|x|
Segunda integral:
Vamos separar -xx^2 + 3 + 2x^2 + 3 em duas frações:
integral -xx^2 + 3 dx = -12 ln|x^2 + 3|
Integrando cada parte:
Para integral 2x^2 + 3 dx = 2raiz3 tan^-1(xraiz3) , fazemos a substituição , então . Porém, temos , então ajustamos:
Para , reconhecemos a forma da integral de uma função do tipo , cuja integral é :

Passo 7

Agora, juntando todas as partes:
integral1^3 2x + 3x^3 + 3x dx = [ ln|x| - 12 ln|x^2 + 3| + 2raiz3 tan^-1(xraiz3) ]1^3

Passo 8

Vamos calcular avaliando de 1 a 3:
Para ln(3) - 12 ln(9 + 3) + 2raiz3 tan^-1(3raiz3) = ln(3) - 12 ln(12) + 2raiz3 cdot pi3 :
ln(3) - 12 ln(12) + 2pi3raiz3
Simplificando:
ln(1) - 12 ln(1 + 3) + 2raiz3 tan^-1(1raiz3) = 0 - 12 ln(4) + 2raiz3 cdot pi6
Para - 12 ln(4) + pi3raiz3 :
Simplificando:

Passo 9

Agora, subtraindo o valor em ( ln(3) - 12 ln(12) + 2pi3raiz3 ) - ( - 12 ln(4) + pi3raiz3 ) = ln(3) - 12 ln(12) + 2pi3raiz3 + 12 ln(4) - pi3raiz3 de ln(3) - 12 ln(124) + pi3raiz3 = ln(3) - 12 ln(3) + pi3raiz3 = 12 ln(3) + pi3raiz3 :
Simplificando os logaritmos:

Resposta

A integral definida é igual a .

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