Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2|1-x| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta no intervalo de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto: . O valor absoluto muda dependendo do valor de . Quando é positivo, ou seja, quando , . Quando é negativo, ou seja, quando , .

Passo 3

Então, vamos dividir a integral em duas partes onde a função muda de comportamento:
integral0^2 |1 - x| , dx = integral0^1 (1 - x) , dx + integral1^2 (x - 1) , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral (1 - x) , dx = integral 1 , dx - integral x , dx = x - x^22 + C :
[1 - 1^22] - [0 - 0^22] = 1 - 12 = 12
Avaliada de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral integral (x - 1) , dx = integral x , dx - integral 1 , dx = x^22 - x + C :
[2^22 - 2] - [1^22 - 1] = [2 - 2] - [12 - 1] = 0 - (-12) = 12
Avaliada de 1 a 2:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
12 + 12 = 1
Então, o valor da integral é 1.

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