Resolva as EDO(b) (y^3 e^x - y sen(x y)) + (3 y^2 e^x - x sen(x y)) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, trabalharemos com o conteúdo de EDOs, especialmente verificando se a equação é exata. Para isso, precisamos identificar as funções e que multiplicam e , respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão :
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 5

Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata!

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a .

Passo 8

Integrando em relação a :
A integral de em relação a é:
Então:

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Onde é uma constante de integração.

Passo 10

Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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