Resolva as EDO(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, trabalharemos com o conteúdo de EDOs, especialmente verificando se a equação é exata. Para isso, precisamos identificar as funções
e
que multiplicam
e
, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata!
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
A integral de em relação a
é:
Então:
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a: