Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^e 1x raiz1+ln (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral1^e 1x raiz1+ln (x) dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve logaritmos e funções de raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral. Olhando para o denominador, vemos 1 + ln(x). Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 1 + ln(x)
Agora, precisamos encontrar a expressão para dx em termos de du. Para isso, vamos derivar ambos os lados em relação a x:
dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx Rightarrow dx = x , du

Passo 3

Mas note que na nossa substituição, u = 1 + ln(x), podemos expressar x em termos de u. Contudo, isso não é necessário aqui porque já conseguimos expressar dx em termos de du. Vamos agora substituir u e dx na integral original:
integral1^e 1x raiz1 + ln(x) dx = integralu(1)^u(e) 1x raizu cdot x , du
Simplificando, os x se cancelam:
= integralu(1)^u(e) 1raizu du

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Quando x = 1:
u = 1 + ln(1) = 1 + 0 = 1
Quando x = e:
u = 1 + ln(e) = 1 + 1 = 2
Então, nossa integral fica:
integral1^2 1raizu du

Passo 5

Para integrar 1raizu, lembramos que:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C
Aplicando isso à nossa integral:
2u^1/2 |1^2 = 2raiz2 - 2raiz1 = 2raiz2 - 2

Resposta

A integral definida vale 2raiz2 - 2.

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