Para quais valores de
e
PVI:
tem solução única ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de
e
a equação diferencial inicial
com a condição inicial
tem uma solução única. Para isso, vamos usar o teorema de existência e unicidade, que é uma parte da matéria de Equações Diferenciais. Precisamos verificar onde a função e a sua derivada parcial em relação a
são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
que está na equação diferencial. Aqui,
. Para que essa função seja contínua, precisamos que o denominador
não seja zero e que o argumento do logaritmo,
, seja maior que zero (já que o logaritmo natural só está definido para números positivos).
Passo 3
Então, temos duas condições iniciais:
-
⇒ -
Essas condições garantem que a função
seja contínua no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso é importante porque, para aplicar o teorema de unicidade, a derivada parcial também precisa ser contínua.
Para que
seja contínua, precisamos que
(já temos isso) e
. Mas como já estabelecemos
, essa condição também está satisfeita.
Passo 5
Resumindo, para que a equação diferencial inicial tenha uma solução única, as condições são:
Essas condições asseguram que tanto
quanto sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas no ponto inicial
, garantindo assim a unicidade da solução pelo teorema de existência e unicidade.
Resposta
A equação inicial tem solução única para todo
e
.
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