Para quais valores de x_0 e y0 circumflexo PVI: y' = ln(x + y) / (x - 1) ; y(x0) = y0 tem solução única ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de e a equação diferencial inicial com a condição inicial tem uma solução única. Para isso, vamos usar o teorema de existência e unicidade, que é uma parte da matéria de Equações Diferenciais. Precisamos verificar onde a função e a sua derivada parcial em relação a são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está na equação diferencial. Aqui, . Para que essa função seja contínua, precisamos que o denominador não seja zero e que o argumento do logaritmo, , seja maior que zero (já que o logaritmo natural só está definido para números positivos).

Passo 3

Então, temos duas condições iniciais:
Essas condições garantem que a função seja contínua no ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso é importante porque, para aplicar o teorema de unicidade, a derivada parcial também precisa ser contínua.
Para que seja contínua, precisamos que (já temos isso) e . Mas como já estabelecemos , essa condição também está satisfeita.

Passo 5

Resumindo, para que a equação diferencial inicial tenha uma solução única, as condições são:
Essas condições asseguram que tanto quanto sua derivada parcial em relação a sejam contínuas no ponto inicial , garantindo assim a unicidade da solução pelo teorema de existência e unicidade.

Resposta

A equação inicial tem solução única para todo e .

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