Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar integrais que têm limites infinitos e também onde a função pode não estar definida, como quando o ln(x) se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição que torne a resolução mais fácil. Vamos deixar . Assim, derivando ambos os lados, temos . Isso significa que , mas como , substituindo, ficamos com .
Passo 3
Agora, substituímos na integral original:
Aqui, e quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, temos uma integral da forma , que é mais fácil de avaliar.
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
= 0 - (-infty) = infty
Resposta
A integral é divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.