(a) integral1^infty 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar integrais que têm limites infinitos e também onde a função pode não estar definida, como quando o ln(x) se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição que torne a resolução mais fácil. Vamos deixar . Assim, derivando ambos os lados, temos . Isso significa que , mas como , substituindo, ficamos com .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral1^infty 1x(ln x)^3 , dx = integralu=0^u=infty 1e^u cdot u^3 cdot e^u , du
Aqui, e quando tende ao infinito, também tende ao infinito.

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^infty 1u^3 , du
Agora, temos uma integral da forma , que é mais fácil de avaliar.

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral 1u^3 , du = integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
-12u^2 |0^infty = ( -12 cdot infty^2 ) - ( -12 cdot 0^2 )
= 0 - (-infty) = infty

Resposta

A integral é divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.

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