Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(f) integral0^infty sen xx^2-cos xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de a da função . Estamos na área do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar analisar a convergência da integral e, se der certo, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral convergente tem um valor finito, ou seja, ela “chega a algum lugar”. Já uma divergente não tem um valor finito, ela “vai pra infinito”. Como o limite superior é , vamos verificar se a integral realmente converge.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^infty sin xx^2 dx e integral0^infty cos xx dx
Sabemos que:
  • integral0^infty ( sin xx^2 - cos xx ) dx é uma integral que oscila e, portanto, não converge de forma tradicional. Ela é conhecida como a integral de Dirichlet, que não converge no sentido usual, mas pode ser atribuída um valor no sentido de Cauchy principal.
  • integral sin xx^2 dx = -sin xx - integral cos xx dx pode ser integrada por partes para encontrar um valor finito.
Vamos focar na integral completa:
- sin xx - integral cos xx dx - integral cos xx dx = - sin xx - 2 integral cos xx dx
Integrando termo a termo:
limb to infty ( - sin bb + sin 00 ) - 2 times (integral de Dirich<=t)
Substituindo de volta na integral original:
- 2 times (integral de Dirich<=t)
Agora, avaliando de a :
O termo tende a zero quando , e é zero. Portanto, ficamos apenas com:
A integral de Dirichlet não converge no sentido usual, mas sua soma com a outra integral resulta em uma integral convergente.

Passo 4

Usando resultados conhecidos, a integral completa:
integral0^infty ( sin xx^2 - cos xx ) dx = 0
Isso ocorre porque as contribuições positivas e negativas se anulam ao integrar de a .

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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