Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de
a
da função
. Estamos na área do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar analisar a convergência da integral e, se der certo, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral convergente tem um valor finito, ou seja, ela “chega a algum lugar”. Já uma divergente não tem um valor finito, ela “vai pra infinito”. Como o limite superior é
, vamos verificar se a integral realmente converge.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
-
é uma integral que oscila e, portanto, não converge de forma tradicional. Ela é conhecida como a integral de Dirichlet, que não converge no sentido usual, mas pode ser atribuída um valor no sentido de Cauchy principal. -
Já
pode ser integrada por partes para encontrar um valor finito.
Vamos focar na integral completa:
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta na integral original:
Agora, avaliando de
a
:
O termo
tende a zero quando
, e
é zero. Portanto, ficamos apenas com:
A integral de Dirichlet
não converge no sentido usual, mas sua soma com a outra integral resulta em uma integral convergente.
Passo 4
Usando resultados conhecidos, a integral completa:
Isso ocorre porque as contribuições positivas e negativas se anulam ao integrar de
a
.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.
Exercícios relacionados
(a)
Calcule as seguintes integrais definidas
§
§
Em cada um dos itens abaixo encontre uma função
tal que
(b)
(b)
Em cada um dos itens abaixo encontre uma função
tal que
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