Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral definida:
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde a gente aprende a encontrar a área sob uma curva. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
e, ao derivar, temos
.
Passo 3
Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
, então . - Quando
, então .
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 5
Integração por partes é uma regra que a gente usa quando tem um produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, escolhemos
(facilita a derivada) e
. Assim, derivamos e integramos:
Passo 6
Aplicando a fórmula, temos:
Então, voltando à nossa integral original:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração:
Sabemos que
,
,
e
. Substituindo:
Resposta
O valor da integral
é igual a 2.