Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi^24 sen(raizx) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral definida: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde a gente aprende a encontrar a área sob uma curva. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, ao derivar, temos .

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando , então .
  • Quando , então .

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi^24 sin(raizx) , dx = integral0^pi2 sin(u) cdot 2u , du = 2 integral0^pi2 u sin(u) , du
Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 5

Integração por partes é uma regra que a gente usa quando tem um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos (facilita a derivada) e . Assim, derivamos e integramos:

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u)
Então, voltando à nossa integral original:
2 integral0^pi2 u sin(u) , du = 2 [ -u cos(u) + sin(u) ]0^pi2

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração:
2 [ -(pi2) cos(pi2) + sin(pi2) - ( -0 cos(0) + sin(0) ) ]
Sabemos que 2 [ -(pi2) cdot 0 + 1 - ( -0 cdot 1 + 0 ) ] = 2 [ 0 + 1 - 0 ] = 2 cdot 1 = 2 , , e . Substituindo:

Resposta

O valor da integral é igual a 2.

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