Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1 / 12^1 / 4 2raizx+4 x raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral112^14 2raizx + 4xraizx , dx
Aqui, estamos lidando com integrais, mais especificamente com funções que envolvem raízes quadradas e expressões racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
raizx + 4xraizx = raizx(1 + 4x)
Então, a integral fica:
integral112^14 2raizx(1 + 4x) , dx

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = raizx
Então, dx = 2u , du e diferenciando ambos os lados em relação a integral 2u(1 + 4u^2) cdot 2u , du = integral 41 + 4u^2 , du :
Agora, substituímos na integral original:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os novos limites de integração após a substituição:
  • Quando u = raiz112 = 12raiz3 :
u = raiz14 = 12
  • Quando integral12raiz3^12 41 + 4u^2 , du :
Então, a integral agora é:

Passo 5

Observamos que a integral é da forma:
integral 11 + (2u)^2 , du
Sabemos que:
integral 11 + a^2u^2 , du = 1a arctan(au) + C
No nosso caso, integral 41 + 4u^2 , du = 4 cdot 12 arctan(2u) = 2 arctan(2u) , então:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
2 arctan(2u) |12raiz3^12 = 2 [ arctan(2 cdot 12) - arctan(2 cdot 12raiz3) ]
Simplificando:
2 [ arctan(1) - arctan(1raiz3) ]
Sabemos que:
arctan(1) = pi4 e arctan(1raiz3) = pi6
Então:
2 ( pi4 - pi6 ) = 2 ( 3pi - 2pi12 ) = 2 cdot pi12 = pi6

Resposta

A integral vale , aproximadamente .

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