Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi e^x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A gente está entrando no mundo do Cálculo Integral, especificamente usando uma técnica chamada integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos du = e^x , dx e v = -cos(x) . Agora, calculamos e :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx
Agora, temos uma nova integral: . Vamos resolver essa também usando integração por partes.

Passo 4

Novamente, aplicamos integração por partes na nova integral. Escolhemos:
u = e^x
dv = cos(x) , dx
Então,
du = e^x , dx
v = sin(x)
Aplicando a fórmula:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx
Agora, observamos que a integral I = integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x) - I apareceu de novo. Vamos chamar essa integral de :

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2I = e^x (sin(x) - cos(x)) :
I = e^x (sin(x) - cos(x))2
I = e^x (sin(x) - cos(x))2 |0^pi
Agora, precisamos avaliar essa expressão de e^pi (sin(pi) - cos(pi))2 = e^pi (0 - (-1))2 = e^pi2 a e^0 (sin(0) - cos(0))2 = 1 (0 - 1)2 = -12 :
I = e^pi2 - (-12) = e^pi + 12
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

integral0^pi e^x sin(x) , dx = e^pi + 12

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