Encontre F(1), F^prime(1), F^prime prime(1) onde F(x)=integral1^x raizt+raizt d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar , e onde . Isso envolve o Cálculo Integral e principalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Vamos precisar entender como calcular uma integral definida e como derivar funções que são definidas como integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar F(x) = integral1^x raizt + raizt , dt . Olha só a definição de F(1) = integral1^1 raizt + raizt , dt = 0 :
Quando , a integral vai de 1 até 1. Sabemos que a integral de qualquer função de um ponto a ele mesmo é zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada F(x) = integrala^x f(t) , dt . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos:
F^prime(x) = raizx + raizx
Então, a derivada de F^prime(1) = raiz1 + raiz1 = raiz1 + 1 = raiz2 em relação a é simplesmente . Aplicando isso aqui:
Agora, para encontrar , substituímos por 1:

Passo 4

Por último, vamos determinar a segunda derivada F^prime(x) = raizx + raizx = (x + x^1/2)^1/2 . Para isso, vamos derivar F^prime prime(x) = 12 (x + x^1/2)^-1/2 cdot (1 + 12 x^-1/2) :
F^prime prime(x) = 1 + 12 x^-1/22 raizx + raizx
Vamos usar a regra da cadeia para derivar essa expressão. Primeiro, derivamos o exterior e depois o interior:
F^prime prime(1) = 1 + 12 cdot 1^-1/22 raiz1 + raiz1 = 1 + 122 raiz2 = 322 raiz2 = 34 raiz2 = 3 raiz28
Simplificando:
Agora, substituímos :

Resposta

F(1) = 0, F^prime(1) = raiz2, F^prime prime(1) = 3 raiz28

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