Encontre
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar
,
e
onde
. Isso envolve o Cálculo Integral e principalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Vamos precisar entender como calcular uma integral definida e como derivar funções que são definidas como integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Olha só a definição de
:
Quando
, a integral vai de 1 até 1. Sabemos que a integral de qualquer função de um ponto a ele mesmo é zero. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos:
Então, a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Aplicando isso aqui:
Agora, para encontrar
, substituímos
por 1:
Passo 4
Por último, vamos determinar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
:
Vamos usar a regra da cadeia para derivar essa expressão. Primeiro, derivamos o exterior e depois o interior:
Simplificando:
Agora, substituímos
:
Resposta
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Se
, calcule:
Calcule as seguintes integrais definidas:
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Se
, calcule: