Se integral0^1 f(x)=5, calcule:
integral2^3 f(-u+3) d u

Passo 1

A gente sabe que integral0^1 f(x) , dx = 5. O que a questão pede é para calcular integral2^3 f(-u + 3) , du. Vamos usar a técnica de substituição para facilitar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = -u + 3
Isso significa que estamos trocando a variável u por t para deixar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos achar como du se relaciona com dt. Diferenciando ambos os lados da equação da substituição:
dt = -du Rightarrow du = -dt

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando u = 2, então t = -2 + 3 = 1
  • Quando u = 3, então t = -3 + 3 = 0

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral2^3 f(-u + 3) , du = integral1^0 f(t) cdot (-dt) = integral0^1 f(t) , dt
Note que trocar os limites de integração de 1 para 0 e multiplicar por -1 faz com que a ordem fique correta.

Resposta

Portanto:
integral2^3 f(-u + 3) , du = 5

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