Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi4 tan (x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas e integrais das funções e , além de aplicar as regras de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser escrita como e como . Porém, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição. Observamos que a presença de sugere que podemos utilizar uma substituição simples.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , o que significa que . Isso simplifica nossa integral, já que temos exatamente no integrando.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral tan(x) sec^2(x) , dx = integral u , du
Isso porque e .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u , du = u^22 + C :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos lidando com uma integral definida.

Passo 6

Voltando à nossa variável original, temos:
u^22 = tan^2(x)2
Então, a integral definida fica:
tan^2(x)2 |0^pi4

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Para tan(pi4) = 1 Rightarrow 1^22 = 12 :
tan(0) = 0 Rightarrow 0^22 = 0
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
12 - 0 = 12

Resposta

A integral definida é igual a .

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