Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas e integrais das funções e , além de aplicar as regras de integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pode ser escrita como e como . Porém, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição. Observamos que a presença de sugere que podemos utilizar uma substituição simples.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , o que significa que . Isso simplifica nossa integral, já que temos exatamente no integrando.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Isso porque e .
Passo 5
Agora, vamos integrar :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos lidando com uma integral definida.
Passo 6
Voltando à nossa variável original, temos:
Então, a integral definida fica:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Para tan(pi4) = 1 Rightarrow 1^22 = 12 :