Resolva os PVI(a) t y' = 2 t e^(-t) - (t + 1) y ; y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial onde a gente quer descobrir a função que satisfaz:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Dividindo todos os termos por , a equação fica:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
A equação fica então:
Isso acontece porque, ao multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo se torna a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Então, temos:

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = cossec(x) + e^x cotg(x)
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi4 tan (x) sec ^2(x) d x
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x^2x^2+1 d x
Resolva os PVI© 2 y'' - 2 y' = -5 y ; y(0) = 2, y'(0) = 0