Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica e entender um pouco sobre áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Podemos reescrever isso como
. Para facilitar, completamos o quadrado:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Essa expressão
se parece com a equação de um semicírculo de raio 1, centrado em
. De fato, a área de um círculo completo de raio 1 é
, então a área de um semicírculo é
.
Passo 4
Como a integral
representa exatamente a área desse semicírculo, podemos concluir diretamente que o valor da integral é
.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Mostre que os gráficos das funções
e
são tangentes no mesmo ponto
. Esboce os gráficos.
Seja
.
é derivável em
? Por quê?
Calcule as seguintes integrais definidas: