Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2 raiz2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica e entender um pouco sobre áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -[(x - 1)^2 - 1] = 1 - (x - 1)^2 . Podemos reescrever isso como integral0^2 raiz1 - (x - 1)^2 , dx . Para facilitar, completamos o quadrado:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Essa expressão se parece com a equação de um semicírculo de raio 1, centrado em . De fato, a área de um círculo completo de raio 1 é , então a área de um semicírculo é .

Passo 4

Como a integral representa exatamente a área desse semicírculo, podemos concluir diretamente que o valor da integral é .

Resposta

O valor da integral é .

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