Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, a gente está trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Note que podemos reescrever como para facilitar os cálculos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador , obtemos:
Passo 4
Vamos expandir o lado direito da igualdade:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação: A + B = 3 A - B = 1
Substituindo na terceira equação: 2A = 4 Rightarrow A = 2 2 + B = 3 Rightarrow B = 1 C = 1 - 4 = -3
Da primeira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
E, de :
Passo 6
Com os valores encontrados 3x^2 - 4x + 5(x - 1)(x^2 + 1) = 2x - 1 + x - 3x^2 + 1 , -integral2^3 ( 2x - 1 + x - 3x^2 + 1 ) , dx e , a decomposição fica: