Calcule as seguintes integrais definidas:
integral2^3 3 x^2-4 x+5(1-x)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, a gente está trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador (1 - x)(x^2 + 1) = -(x - 1)(x^2 + 1) . Note que podemos reescrever integral2^3 3x^2 - 4x + 5-(x - 1)(x^2 + 1) , dx = -integral2^3 3x^2 - 4x + 5(x - 1)(x^2 + 1) , dx como para facilitar os cálculos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 3x^2 - 4x + 5(x - 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1 em frações parciais. Assumimos que:
3x^2 - 4x + 5 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)
Multiplicando ambos os lados pelo denominador , obtemos:

Passo 4

Vamos expandir o lado direito da igualdade:
3x^2 - 4x + 5 = A x^2 + A + B x^2 - B x + C x - C
Agrupando termos semelhantes:
3x^2 - 4x + 5 = (A + B)x^2 + (C - B)x + (A - C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 3 C - B = -4 A - C = 5

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: A + B = 3 A - B = 1
  2. Substituindo na terceira equação: 2A = 4 Rightarrow A = 2 2 + B = 3 Rightarrow B = 1 C = 1 - 4 = -3
  3. Da primeira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
E, de :

Passo 6

Com os valores encontrados 3x^2 - 4x + 5(x - 1)(x^2 + 1) = 2x - 1 + x - 3x^2 + 1 , -integral2^3 ( 2x - 1 + x - 3x^2 + 1 ) , dx e , a decomposição fica:
Portanto, a integral original se torna:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
-[ integral2^3 2x - 1 , dx + integral2^3 x - 3x^2 + 1 , dx ]
A primeira integral é simples:
integral 2x - 1 , dx = 2 ln|x - 1| + C
Para a segunda integral, separamos em duas partes:
integral xx^2 + 1 , dx - 3 integral 1x^2 + 1 , dx = 12 ln(x^2 + 1) - 3 arctan(x) + C

Passo 8

Agora, substituindo os limites de integração:
-[ 2 ln|x - 1| + 12 ln(x^2 + 1) - 3 arctan(x) ]2^3
Calculando em 2 ln(3 - 1) + 12 ln(9 + 1) - 3 arctan(3) = 2 ln(2) + 12 ln(10) - 3 arctan(3) :
2 ln(2 - 1) + 12 ln(4 + 1) - 3 arctan(2) = 2 ln(1) + 12 ln(5) - 3 arctan(2)
Calculando em 2 ln(2) + 12 ln(10) - 3 arctan(3) - ( 12 ln(5) - 3 arctan(2) ) :
2 ln(2) + 12 (ln(10) - ln(5)) - 3 (arctan(3) - arctan(2))
Como 2 ln(2) + 12 ln(2) - 3 (arctan(3) - arctan(2)) , simplificamos:
Isso resulta em:
Simplificando mais:

Resposta

Após os cálculos, a integral definida vale aproximadamente:
- ( 2 ln(2) + 12 ln(2) - 3 (arctan(3) - arctan(2)) ) approx -2.079

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