Calcule as seguintes integrais definidas:
integralpi4^pi3 11-sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral definida que envolve uma função trigonométrica. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos integrar: 11 - sin(x) times 1 + sin(x)1 + sin(x) = 1 + sin(x)1 - sin^2(x) . Para simplificar essa fração, uma boa estratégia é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica que diz que 1 + sin(x)cos^2(x) = 1cos^2(x) + sin(x)cos^2(x) . Substituindo isso na nossa fração, fica:

Passo 4

Vamos reescrever essas expressões usando funções trigonométricas conhecidas:
1cos^2(x) = sec^2(x)
sin(x)cos^2(x) = sec(x) tan(x)
Então, a integral fica:
integral sec^2(x) + sec(x) tan(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
  • A integral de tan(x) + sec(x) + C é .
  • A integral de é .
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida de [ tan(pi3) + sec(pi3) ] - [ tan(pi4) + sec(pi4) ] a , vamos substituir esses limites na antiderivada que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores trigonométricos:
  • (raiz3 + 2) - (1 + raiz2) = raiz3 + 2 - 1 - raiz2 = raiz3 + 1 - raiz2
Substituindo esses valores na expressão, temos:

Resposta

O valor da integral é .

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