Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral definida que envolve uma função trigonométrica. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos integrar:
. Para simplificar essa fração, uma boa estratégia é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica que diz que
. Substituindo isso na nossa fração, fica:
Passo 4
Vamos reescrever essas expressões usando funções trigonométricas conhecidas:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, vamos substituir esses limites na antiderivada que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores trigonométricos:
Substituindo esses valores na expressão, temos:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Mostre que os gráficos das funções
e
são tangentes no mesmo ponto
. Esboce os gráficos.
Mostre que os limites abaixo não existem:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Seja
.
é derivável em
? Por quê?