Seja
.
é derivável em
? Por quê?
Passo 1
Vamos analisar se a função
é derivável em
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivabilidade e continuidade de funções. Precisamos verificar se a função é contínua em
e se as derivadas à esquerda e à direita nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função no ponto forem iguais.
Passo 3
Calculamos o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Passo 4
Calculamos o limite de
quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Passo 5
Verificamos o valor da função em
:
Como os limites laterais são iguais ao valor da função,
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a derivabilidade em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas à esquerda e à direita e ver se elas são iguais.
Passo 7
Calculamos a derivada de
para
:
Então, a derivada à esquerda em
é:
Passo 8
Calculamos a derivada de
para
:
Então, a derivada à direita em
é:
Resposta
Como as derivadas à esquerda (
) e à direita (
) em
são diferentes, a função
não é derivável em
.
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Se
, calcule: