Seja g(x) = { x² + 1 se x < 2, 9 - x² se x ≥ 2 }. g é derivável em p = 2 ? Por quê?

Passo 1

Vamos analisar se a função é derivável em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivabilidade e continuidade de funções. Precisamos verificar se a função é contínua em e se as derivadas à esquerda e à direita nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função no ponto forem iguais.

Passo 3

Calculamos o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculamos o limite de quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 5

Verificamos o valor da função em :
Como os limites laterais são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a derivabilidade em . Para isso, precisamos calcular as derivadas à esquerda e à direita e ver se elas são iguais.

Passo 7

Calculamos a derivada de para :
Então, a derivada à esquerda em é:

Passo 8

Calculamos a derivada de para :
Então, a derivada à direita em é:

Resposta

Como as derivadas à esquerda ( ) e à direita ( ) em são diferentes, a função não é derivável em .

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