Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com integrais definidas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos calcular a diferencial :
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Quando , . Quando , . Portanto, nossa integral passa a ter os mesmos limites, de 0 a 1.
Passo 3
Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral. Observe que:
Portanto, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Passo 6
A segunda integral envolve a função integral 1t^2 + 1 , dt = arctan(t) + C , cuja antiderivada é o arco-tangente: