Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 raizxx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral definida:
integral0^1 raizxx+1 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais definidas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = raizx
Isso significa que dx = 2t , dt . Agora, vamos calcular a diferencial :
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Quando , . Quando , . Portanto, nossa integral passa a ter os mesmos limites, de 0 a 1.

Passo 3

Substituindo integral0^1 raizxx+1 , dx = integral0^1 tt^2 + 1 cdot 2t , dt e 2 integral0^1 t^2t^2 + 1 , dt na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral. Observe que:
t^2t^2 + 1 = 1 - 1t^2 + 1
Portanto, nossa integral fica:
2 integral0^1 (1 - 1t^2 + 1) , dt

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
2 ( integral0^1 1 , dt - integral0^1 1t^2 + 1 , dt )
A primeira integral é simples:
integral0^1 1 , dt = t |0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 6

A segunda integral envolve a função integral 1t^2 + 1 , dt = arctan(t) + C , cuja antiderivada é o arco-tangente:
integral0^1 1t^2 + 1 , dt = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4
Aplicando os limites:

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão:
2 (1 - pi4) = 2 - pi2

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
2 - pi2

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