Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = raiz(x^2 + e^(raiz(x)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de usando a regra da cadeia. Isso está dentro do estudo de diferenciação, especificamente funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é super útil para derivar funções que são combinações de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes que compõem ela:
Aqui, vemos que temos uma função externa e uma função interna . A regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa em relação à função interna. Se , então:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função interna . A derivada de é . Para derivar , usamos novamente a regra da cadeia:
Portanto, a derivada da função interna é:

Passo 5

Agora, juntando tudo, substituímos a derivada da função interna na expressão da derivada total:
Podemos simplificar multiplicando o numerador:
Simplificando os fatores:

Resposta

A derivada de é:

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