Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para simplificar a integral e encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral:
, que também precisamos resolver usando integração por partes.
Passo 4
Vamos aplicar integração por partes novamente para
. Escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Simplificando:
Observamos que a integral
aparece novamente. Vamos chamar essa integral de
:
Então, temos:
Somando
dos dois lados:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
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