Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^1 sen x e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para simplificar a integral e encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = sin(x) e dv = e^x dx e du = cos(x) dx e v = integral e^x dx = e^x . Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sin(x) e^x dx = sin(x) e^x - integral e^x cos(x) dx
Agora, temos uma nova integral: , que também precisamos resolver usando integração por partes.

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes novamente para u = cos(x) e dv = e^x dx . Escolhemos:
du = -sin(x) dx e v = integral e^x dx = e^x
Calculando integral e^x cos(x) dx = cos(x) e^x - integral e^x (-sin(x)) dx = cos(x)e^x + integral e^x sin(x) dx e :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(x) e^x dx = sin(x)e^x - ( cos(x)e^x + integral e^x sin(x) dx )
Simplificando:
integral sin(x) e^x dx = sin(x)e^x - cos(x)e^x - integral e^x sin(x) dx
Observamos que a integral I = integral e^x sin(x) dx aparece novamente. Vamos chamar essa integral de I = sin(x)e^x - cos(x)e^x - I :
2I = sin(x)e^x - cos(x)e^x
Então, temos:
I = 12 ( sin(x)e^x - cos(x)e^x ) + C
Somando dos dois lados:
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 sin(x) e^x dx = 12 [ sin(x)e^x - cos(x)e^x ]0^1
Calculando nos limites:
Para sin(1)e^1 - cos(1)e^1 = e (sin(1) - cos(1)) :
sin(0)e^0 - cos(0)e^0 = 0 - 1 = -1
Para 12 [ e (sin(1) - cos(1)) - (-1) ] = 12 ( e (sin(1) - cos(1)) + 1 ) :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral definida é igual a .

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