Calcule as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para simplificar a integral e encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral: , que também precisamos resolver usando integração por partes.

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes novamente para . Escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Simplificando:
Observamos que a integral aparece novamente. Vamos chamar essa integral de :
Então, temos:
Somando dos dois lados:
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral definida é igual a .

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