Encontre o valor Médio das seguintes funções nos respectivos intervalos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar o valor médio da função
no intervalo de
de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de média de uma função em um intervalo, que envolve cálculo integral. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como calcular a média de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o valor médio de uma função em um intervalo
. A fórmula é:
Isso significa que a gente vai integrar a função
de
até
, e depois divide pelo comprimento do intervalo
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, e o intervalo é de 1 a 2. Então, substituindo na fórmula, temos:
Já que
, a gente só precisa calcular a integral de
de 1 a 2.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 5
Na integração por partes, a gente escolhe partes da função para serem
e
, de forma que:
Vamos deixar:
Então, precisamos calcular
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando o que está dentro da segunda integral:
Então, temos:
Passo 7
Vamos resolver a segunda integral agora:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão original:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, vamos ignorar
.
Passo 9
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a 2:
Simplificando os termos:
Porque
.
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Então:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo de 1 a 2 é aproximadamente 0,636.
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e calcule a área: A é o conjunto limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
.
Dadas duas proposições simples
e
, determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições
e
: