Encontre o valor Médio das seguintes funções nos respectivos intervalos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar o valor médio da função no intervalo de de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de média de uma função em um intervalo, que envolve cálculo integral. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como calcular a média de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o valor médio de uma função em um intervalo . A fórmula é:
é
Isso significa que a gente vai integrar a função de até , e depois divide pelo comprimento do intervalo .

Passo 3

No nosso caso, a função é , e o intervalo é de 1 a 2. Então, substituindo na fórmula, temos:
é
Já que , a gente só precisa calcular a integral de de 1 a 2.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 5

Na integração por partes, a gente escolhe partes da função para serem e , de forma que:
Vamos deixar:
Então, precisamos calcular e :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando o que está dentro da segunda integral:
Então, temos:

Passo 7

Vamos resolver a segunda integral agora:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, vamos ignorar .

Passo 9

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a 2:
Simplificando os termos:
Porque .

Passo 10

Calculando os valores numéricos:
Então:

Resposta

O valor médio da função no intervalo de 1 a 2 é aproximadamente 0,636.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Desenhe o conjunto dado e calcule a área: A é o conjunto limitado pelas retas , pelo eixo e pelo gráfico de .
Dadas duas proposições simples e , determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições e :