Calcule as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar entender como escolher uma parte da integral para simplificar usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que está dentro da potência: . Essa expressão parece um bom candidato para substituição porque fica dentro de uma função composta, o que facilita aplicar a técnica.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar nosso trabalho. Seja:
Agora, precisamos encontrar o diferencial em termos de :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Agora, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição. Quando :
E quando :

Passo 6

Vamos calcular a integral de :
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Seja uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de .