Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida
. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar entender como escolher uma parte da integral para simplificar usando essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que está dentro da potência:
. Essa expressão parece um bom candidato para substituição porque fica dentro de uma função composta, o que facilita aplicar a técnica.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para simplificar nosso trabalho. Seja:
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição. Quando
:
E quando
:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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Seja
uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de
.