Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral sen raizx d xraizx raizcos ^3 raizx

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais, especificamente aplicando substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observando a integral, notamos que t = cos raizx aparece tanto no seno quanto no cosseno. Portanto, vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dtdx = -sin raizx cdot 12raizx = -sin raizx2raizx em relação a -2sin raizx cdot dt = dxraizx para substituir na integral. Calculamos:
Isso implica que:

Passo 4

Substituindo integral sin raizxraizx cdot cos^3/2 raizx , dx = integral sin raizxraizx cdot 1cos^3/2 raizx , dx = integral 1cos^3/2 raizx cdot sin raizxraizx , dx e integral 1t^3/2 cdot (-2) , dt = -2 integral t^-3/2 , dt na integral original, temos:
Usando a substituição feita:

Passo 5

Agora, vamos integrar -2 integral t^-3/2 , dt = -2 cdot ( t^-1/2-1/2 ) + C = 4 t^-1/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 4 t^-1/2 + C = 4 cdot 1raizcos raizx + C = 4raizcos raizx + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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