Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral d x4 x raizx^2-16

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral dx4x raizx^2-16 usando o método de substituição. Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fatorando a constante que está fora da fração. Isso ajuda a deixar a integral mais fácil de manipular:
14 integral dxx raizx^2 -16

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição. Vamos definir . Essa escolha é boa porque a presença de na integral sugere que simplificar essa parte pode nos ajudar.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de u = raizx^2 -16 dudx = xraizx^2 -16 = xu Rightarrow dx = u , dux em relação a para substituir :

Passo 5

Substituímos 14 integral dxx u = 14 integral u , duxx u = 14 integral dux^2 e na integral original:

Passo 6

Sabemos que x^2 = u^2 +16 Rightarrow 1x^2 = 1u^2 +16 , então podemos expressar 14 integral duu^2 +16 em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 7

Essa é uma integral padrão que sabemos resolver. A fórmula é:
integral duu^2 +a^2 = 1a arctan( ua ) + C
Aqui, , então substituímos na fórmula.

Passo 8

Aplicando a fórmula na nossa integral:
14 cdot 14 arctan( u4 ) + C = 116 arctan( u4 ) + C

Passo 9

Finalmente, substituímos u = raizx^2 -16 Rightarrow 116 arctan( raizx^2 -164 ) + C de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a 116 arctan( raizx^2 -164 ) + C.

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