Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fatorando a constante que está fora da fração. Isso ajuda a deixar a integral mais fácil de manipular:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição. Vamos definir . Essa escolha é boa porque a presença de na integral sugere que simplificar essa parte pode nos ajudar.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Sabemos que , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 7

Essa é uma integral padrão que sabemos resolver. A fórmula é:
Aqui, , então substituímos na fórmula.

Passo 8

Aplicando a fórmula na nossa integral:

Passo 9

Finalmente, substituímos de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais imediatas:
Calcule as seguintes integrais imediatas:
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Calcule as seguintes integrais definidas: