Em que direção a derivada direcional de em é igual a zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a direção na qual a derivada direcional da função no ponto é igual a zero. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção representada pelo vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . As derivadas parciais são:
Assim, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Queremos encontrar a direção em que a derivada direcional . Usando a fórmula da derivada direcional:
Simplificando:

Passo 6

Essa equação representa uma relação entre e . Podemos expressar em função de :
Como é um vetor unitário, temos que:
Substituindo :
Portanto:
E:

Passo 7

Assim, as direções onde a derivada direcional é zero são:
Esses vetores representam as direções paralelas ao gradiente e oposta a ele, onde a variação da função é nula.

Resposta

As direções na qual a derivada direcional de em é igual a zero são e .

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e ;
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Pondo , determine e