Em que direção a derivada direcional de
em
é igual a zero?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a direção na qual a derivada direcional da função
no ponto
é igual a zero. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
em uma direção representada pelo vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
da função
. As derivadas parciais são:
Assim, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Queremos encontrar a direção
em que a derivada direcional
. Usando a fórmula da derivada direcional:
Simplificando:
Passo 6
Essa equação representa uma relação entre
e
. Podemos expressar
em função de
:
Como
é um vetor unitário, temos que:
Substituindo
:
Portanto:
E:
Passo 7
Assim, as direções
onde a derivada direcional é zero são:
Esses vetores representam as direções paralelas ao gradiente e oposta a ele, onde a variação da função é nula.
Resposta
As direções na qual a derivada direcional de
em
é igual a zero são
e
.
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Calcule as seguintes integrais definidas:
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Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Pondo
, determine
e