Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x(x^2+6) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida que vai de 0 a 1 de em relação a . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente sobre integrar funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de integração para polinômios e depois calcular os valores nos limites de 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos distribuir o x(x^2 + 6) = x^3 + 6x que está multiplicando o integral0^1 (x^3 + 6x) , dx :
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembra que a integral de integral x^3 , dx = x^44 em relação a integral 6x , dx = 6 cdot x^22 = 3x^2 é . Vamos aplicar isso aos dois termos:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos as integrais de cada termo, vamos somá-las:
integral0^1 (x^3 + 6x) , dx = [ x^44 + 3x^2 ]0^1
Isso significa que precisamos calcular nos limites de 0 a 1 e depois subtrair.

Passo 5

Vamos calcular no limite superior 1^44 + 3(1)^2 = 14 + 3 = 14 + 124 = 134 :
0^44 + 3(0)^2 = 0 + 0 = 0
Agora no limite inferior :

Resposta

Finalmente, subtraindo os valores:
134 - 0 = 134
Então, o valor da integral definida é .

Exercícios relacionados

Desse modo, resolva a equação diferencial resultante:
d/dt x(t) = a t + k1
demonstranto que a solução geral para x(t) deve ser expressa por
x(t) = a * t^2 / 2 + k1 * t + k0
onde k0 é a constante de integração.
Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
integral sen x d x=-cos x+k
Suportado pelas condições inicias:
(i)
x = x0 em t = 0
(ii)
v = v0 em t = 0
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) associado.
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-1^1(a x^2+b x+c) d x