Desse modo, resolva a equação diferencial resultante:
d/dt x(t) = a t + k1
demonstranto que a solução geral para x(t) deve ser expressa por
x(t) = a * t^2 / 2 + k1 * t + k0
onde k0 é a constante de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona a derivada de em relação ao tempo com uma expressão que depende de . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrações, para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo:
Aqui, representa a taxa de variação de em relação a . Nosso objetivo é encontrar a função que, ao derivarmos, nos dá .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integração é o processo inverso da diferenciação, ou seja, se derivamos uma função para obtê-la, a integração nos ajuda a reconstruir a função original a partir de sua derivada.
Então, vamos integrar:

Passo 4

A integral do lado esquerdo simplifica para , já que a integral da derivada de em relação a é a própria função :
Agora, vamos integrar o lado direito termo por termo.

Passo 5

Integrando cada termo separadamente:
  • A integral de em relação a é:
  • A integral de em relação a é:
Além disso, sempre que integramos, adicionamos uma constante de integração, que vamos chamar de .

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Aqui, é a constante de integração que representa qualquer valor constante que possa ser acrescentado à solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
integral sen x d x=-cos x+k
Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por
v(t) = a t + k1
onde k1 é a constante de integração.
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x(x^2+6) d x
Suportado pelas condições inicias:
(i)
x = x0 em t = 0
(ii)
v = v0 em t = 0
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) associado.