Desse modo, resolva a equação diferencial resultante:
demonstranto que a solução geral para
deve ser expressa por
onde
é a constante de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona a derivada de
em relação ao tempo
com uma expressão que depende de
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrações, para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo:
Aqui,
representa a taxa de variação de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que, ao derivarmos, nos dá
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. A integração é o processo inverso da diferenciação, ou seja, se derivamos uma função para obtê-la, a integração nos ajuda a reconstruir a função original a partir de sua derivada.
Então, vamos integrar:
Passo 4
A integral do lado esquerdo simplifica para
, já que a integral da derivada de
em relação a
é a própria função
:
Agora, vamos integrar o lado direito termo por termo.
Passo 5
Integrando cada termo separadamente:
- A integral de
em relação a é:
- A integral de
em relação a é:
Além disso, sempre que integramos, adicionamos uma constante de integração, que vamos chamar de
.
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Aqui,
é a constante de integração que representa qualquer valor constante que possa ser acrescentado à solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por
onde
é a constante de integração.
Calcule as seguintes integrais definidas:
Suportado pelas condições inicias:
(i)
(i)
(ii)
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) associado.