Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x^2x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, você precisa calcular a integral definida de x^2x^2+1 de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde vamos usar técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^2x^2+1. Podemos fazer isso dividindo o numerador pelo denominador:
x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1
Isso porque x^2 = (x^2+1) - 1, então:
x^2x^2+1 = (x^2+1) - 1x^2+1 = 1 - 1x^2+1

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 x^2x^2+1 dx = integral0^1 (1 - 1x^2+1) dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 1 , dx - integral0^1 1x^2+1 dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1 - 0 = 1
Segunda integral:
integral0^1 1x^2+1 dx
Sabemos que a integral de 1x^2+1 é tan^-1(x).
Então:
integral0^1 1x^2+1 dx = tan^-1(x) |0^1 = tan^-1(1) - tan^-1(0)
Sabemos que tan^-1(1) = pi4 e tan^-1(0) = 0, então:
pi4 - 0 = pi4

Resposta

Substituindo os resultados das integrais:
1 - pi4
Portanto, o valor da integral definida é 1 - pi4.

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