Resolva os PVI©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma equação diferencial do tipo
, com as condições iniciais
e
. A gente vai usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais pra encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Dividindo tudo por 2, fica:
Agora, vamos colocar todos os termos no lado esquerdo:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos achar a equação característica. Substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando:
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante (
) é negativo, o que significa que as raízes são complexas.
Passo 5
Como temos raízes complexas, podemos escrever a solução geral da equação como:
Onde
e
.
Então, a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais pra encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos achar a derivada de
:
Simplificando para
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Resolva os PVI(a)
Sem calcular a integral definida explique por que as seguintes igualdades são falsas.
Para quais valores de
e
PVI:
tem solução única ?