Resolva os PVI© 2 y'' - 2 y' = -5 y ; y(0) = 2, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma equação diferencial do tipo , com as condições iniciais e . A gente vai usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais pra encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Dividindo tudo por 2, fica:
Agora, vamos colocar todos os termos no lado esquerdo:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos achar a equação característica. Substituímos y'' por , y' por r e y por 1, ficando:
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante ( ) é negativo, o que significa que as raízes são complexas.

Passo 5

Como temos raízes complexas, podemos escrever a solução geral da equação como:
Onde e .
Então, a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais pra encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos achar a derivada de y(t):
Simplificando para :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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