Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x arctan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve o cálculo de integrais com funções que são multiplicadas, então vamos usar o método da integração por partes. Para isso, precisamos identificar partes da função para derivar e partes para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
u = arctan(x) e dv = x , dx
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar .

Passo 4

Calculando du = ddx arctan(x) , dx = 11 + x^2 , dx :
v = integral x , dx = x^22
E integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x arctan(x) , dx = u v - integral v , du = arctan(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx
Note que 12 integral (1 - 11 + x^2) dx = 12 ( integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx ) , então:

Passo 7

Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x e integral 11 + x^2 , dx = arctan(x)
Então:
12 ( x - arctan(x) )

Passo 8

Voltando à expressão original:
integral x arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - 12 ( x - arctan(x) ) + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 1:
[ x^22 arctan(x) - 12 ( x - arctan(x) ) ]0^1
Calculando para 1^22 arctan(1) - 12 (1 - arctan(1)) = 12 cdot pi4 - 12 (1 - pi4) = pi8 - 12 + pi8 = pi4 - 12 :
0 - 12 (0 - 0) = 0
E para :

Resposta

A integral definida é:
pi4 - 12

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