Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso envolve o cálculo de integrais com funções que são multiplicadas, então vamos usar o método da integração por partes. Para isso, precisamos identificar partes da função para derivar e partes para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
.
Passo 4
Calculando
:
E integrando
para encontrar
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda integral:
Note que
, então:
Passo 7
Calculando as integrais:
Então:
Passo 8
Voltando à expressão original:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração.
Passo 9
Aplicando os limites de 0 a 1:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
A integral definida é: