Resolva os PVI(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos resolver a equação
e encontrar a função
que satisfaz as condições iniciais
e
.
Passo 2
Vamos começar simplificando a equação diferencial. Podemos reescrever a equação original dividindo ambos os lados por 2:
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a solução geral da equação diferencial. Como temos uma equação linear com coeficientes constantes, vamos supor uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial:
Substituindo na equação:
Passo 5
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Rearranjando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 7
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Portanto,
Passo 9
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
A solução do PVI é: