Resolva os PVI(b) 2 y'' = -16 y' - 14 y ; y(0) = 4, y'(0) = 9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos resolver a equação e encontrar a função que satisfaz as condições iniciais e .

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação diferencial. Podemos reescrever a equação original dividindo ambos os lados por 2:

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a solução geral da equação diferencial. Como temos uma equação linear com coeficientes constantes, vamos supor uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
Substituindo na equação:

Passo 5

Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):
Rearranjando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:

Passo 7

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Portanto,

Passo 9

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
Então, temos o sistema de equações:

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do PVI é:

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