Resolva as EDO(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente lidando com soluções de equações lineares com coeficientes constantes e termos não homogêneos que são polinômios multiplicados por exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que vamos descobrir. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver:
Então, temos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau multiplicado por
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
,
, e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
, e
na equação original:
Ficamos com:
Vamos simplificar os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para constantes:
Então, temos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para as constantes:
$$
2A + 10 B + 25 C = 2 \
2 \left(\frac{5}{4}\right) + 10 \left(-\frac{27}{22}\right) + 25 C = 2 \
\frac{10}{4} - \frac{270}{22} + 25 C = 2 \
\frac{5}{2} - \frac{135}{11} + 25 C = 2 \
Convertendo para denominador comum (22):
2A + 10 B + 25 C = 2 \
2 \left(\frac{5}{4}\right) + 10 \left(-\frac{27}{22}\right) + 25 C = 2 \
\frac{10}{4} - \frac{270}{22} + 25 C = 2 \
\frac{5}{2} - \frac{135}{11} + 25 C = 2 \
Convertendo para denominador comum (22):
\frac{55}{22} - \frac{270}{22} + 25 C = \frac{44}{22} \
\frac{-215}{22} + 25 C = \frac{44}{22} \
25 C = \frac{44 + 215}{22} \
25 C = \frac{259}{22} \
C = \frac{259}{550} = \frac{259}{550}
\frac{-215}{22} + 25 C = \frac{44}{22} \
25 C = \frac{44 + 215}{22} \
25 C = \frac{259}{22} \
C = \frac{259}{550} = \frac{259}{550}
$$
Passo 7
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.