Resolva as EDO(d) y'' - 2y' + y = (5x^2 + 3x + 2) e^(3x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente lidando com soluções de equações lineares com coeficientes constantes e termos não homogêneos que são polinômios multiplicados por exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma , onde k é um número que vamos descobrir. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Como e^(k x) nunca é zero, temos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver:
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau multiplicado por , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde A, B, e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , , e na equação original:
Ficamos com:
Vamos simplificar os coeficientes:
Para x^2:
Para x:
Para constantes:
Então, temos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x^2:
Para x:
Para as constantes:
$$
2A + 10 B + 25 C = 2 \
2 \left(\frac{5}{4}\right) + 10 \left(-\frac{27}{22}\right) + 25 C = 2 \
\frac{10}{4} - \frac{270}{22} + 25 C = 2 \
\frac{5}{2} - \frac{135}{11} + 25 C = 2 \
Convertendo para denominador comum (22):
\frac{55}{22} - \frac{270}{22} + 25 C = \frac{44}{22} \
\frac{-215}{22} + 25 C = \frac{44}{22} \
25 C = \frac{44 + 215}{22} \
25 C = \frac{259}{22} \
C = \frac{259}{550} = \frac{259}{550}
$$

Passo 7

Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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